Դիֆերենցիալ հաշիվ

Դիֆերենցիալ հաշիվ, մաթեմատիկական անալիզի բաժին, որն ուսումնասիրում է ածանցյալի և դիֆերենցիալի հատկությունները, հաշվման եղանակները և կիրառությունները։ Որպես մաթեմատիկական ինքնուրույն առարկա դիֆերցիալ հաշիվը կազմավորվել է Իսահակ Նյուտոնի և Գ․ Լայբնիցի աշխատանքների հիման վրա, որոնցում ձևակերպվել են դիֆերենցիալ հաշվի հիմնական դրույթները և ցույց տրվել ինտեգրման և դիֆերենցման փոխհակադարձ բնույթը։ Այնուհետև դիֆերենցիալ հաշիվը սկսել է զարգանալ ինտեգրալ հաշվի հետ սերտ կապված։ Դիֆերենցիալ հաշվի հիմնական հասկացություններն են ածանցյալը և դիֆերենցիալը։

Ածանցյալ

Դիցուք, պետք է հաշվել նյութական կետի ուղղագիծ շարժման արագությունը։ Հավասարաչափ շարժման դեպքում կետի արագությունը սահմանվում է որպես որևէ ժամանակահատվածում անցած ճանապարհի հարաբերությունն այդ հատվածին։ Անհավասարաչափ շարժվող կետի արագությունը համեմատական չէ ժամանակին, ամեն մի է պահի արագության մեծություն է ընդունվում $[t,t+\Delta t]$ ժամանակահատվածում կետի շարժման միջին արագության $({\frac {S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}})$ սահմանային արժեքը $v(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}}$ (կոչվում է ակնթարթային արագություն)։ Նման տիպի սահմանի դիտարկման է հանգում նաև հարթ կորի որևէ $M$ կետում շոշափող սահմանելու և կառուցելու խնդիրը։ Դիցուք, կորը տրվում է $y=f(x)$ հավասարումով։ Շոշափող սահմանելու և դրա դիրքը որոշելու համար պետք է սահմանել և այնուհետև գտնել նրա անկյունային գործակիցը, այսինքն՝ շոշափողով և $x$ առանցքով կազմված անկյան տանգենսը $\mathrm {tg} \,\alpha$, որը սահմանվում է որպես որևէ $MM_{1}$ հատողի անկյունային գործակցի ($\mathrm {tg} \,\beta$) սահմանային արժեք, երբ $x_{1}-x_{0}=\Delta x\to 0$, $\mathrm {tg} \,\alpha =\lim _{\Delta x\to 0}\mathrm {tg} \,\beta =\lim _{\Delta x\to 0}\,{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$։ Վերանալով նման խնդիրների մեխանիկական կամ երկրաչափական բնույթից և ընդհանրացնելով նշված մոտեցումը՝ կարելի է հանգել «ածանցյալ» վերացական հասկացությանը, ֆունկցիայի ածանցյալ է կոչվում ֆունկցիայի աճի և արգումենտի աճի հարաբերության սահմանը (եթե այն գոյություն ունի), երբ արգումենտի աճը ձգտում է $0$-ի։ $y=f(x)$ ֆունկցիայի ածանցյալը նշանակվում է $f'(x),y',dy/dx,df/dx,Df(x)$։ $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ֆունկցիայի ածանցյալն ըստ որևէ փոփոխականի (եթե մյուսները սևեռած են) կոչվում է մասնակի ածանցյալ ըստ այդ փոփոխականի։ Ֆունկցիայի ածանցյալի ածանցյալը (եթե գոյություն ունի) կոչվում է Երկրորդ կարգի ածանցյալ և նշանակվում է $y'',f''(x),d^{2}f/dx^{2},D^{2}f(x)$։ Հանգունորեն սահմանվում և նշանակվում են ավելի բարձր (բնական) կարգի ածանցյալներն ու մասնակի ածանցյալները, $n$-րդ կարգի ածանցյալները նշանակվում են $y^{n},f^{(n)},d^{n}f/dx^{n},D^{n}f(x)$, իսկ մասնակի ածանցյալները՝ ${\frac {\partial ^{n}f}{\partial x_{1}^{a_{1}},\ldots ,\partial x_{n}^{a_{n}}}},(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots ,+\alpha _{n}=n)$։ Եթե ֆունկցիան $x_{0}$ կետում ունի ածանցյալ, ապա անընդհատ է այդ կետում։ Հակառակ պնդումն, ընդհանրապես, ճիշտ չէ։ Օրինակ, $y=|x|$ ֆունկցիան անընդհատ է ամբողջ առանցքի վրա, բայց $x=0$ կետում չունի ածանցյալ, որովհետև $\Delta y/\Delta x$ հարաբերության սահմանն այդ կետում գոյություն չունի։ Ածանցյալի օգնությամբ որոշվում են բնագիտության մի շարք կարևոր հասկացություններ, օրինակ, հոսանքի ուժը և քիմ․ ռեակցիայի արագությունը, համապատասխանաբար, որոշվում են $I=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta q}{\Delta t}}$ և $\omega =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta Q}{\Delta t}}$, բանաձևերով, որտեղ $\Delta q$-ն շղթայի հատվածքով $\Delta t$ ժամանակում անցնող էլեկտրական լիցքի քանակն է, իսկ $\Delta Q$-ն՝ նյութի քանակի փոփոխությունը $\Delta t$ ժամանակում։ Ընդհանրապես, ըստ ժամանակի ածանցյալը պրոցեսի արագության չափանիշ է և կիրառելի է բնագիտական ամենատարբեր հասկացությունների համար։

Դիֆերենցիալ

$x_{0}$ կետի որևէ շրջակայքում որոշված $y=f(x)$ ֆունկցիան կոչվում է դիֆերենցելի այդ կետում, եթե դրա $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ աճը հնարավոր է ներկայացնել $\Delta y=A\Delta x+\alpha \Delta x$ տեսքով, որտեղ $A=A(x_{0})$և $\alpha =\alpha (x_{1},x_{0})\to 0$, երբ $x\to x_{0}$: $A\Delta X$-ը կոչվում է $f(x)$ ֆունկցիայի դիֆերենցիալ և նշանակվում է $dy$ կամ $df(x)$։ Դիֆերենցիալը ֆունկցիայի աճի գլխավոր (գծային) մասն է այն առումով, որ սևեռած $x_{0}$-ի դեպքում $dy$-ը գծայնորեն է կախված $\Delta x$-ից, և $\Delta y-dy$ տարբերությունն անվերջ փոքր է $\Delta x$-ի համեմատությամբ։ Քանի որ անկախ փոփոխականի դիֆերենցիալը նրա աճն է, այսինքն ($dx=\Delta x$), ուստի գրում են $dy=Adx$։ Որպեսզի մեկ փոփոխականի $f(x)$ ֆունկցիան $x_{0}$ կետում ունենա դիֆերենցիալ, անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի այն$x_{0}$-ում ունենա (վերջավոր) ածանցյալ՝ $f'(x_{0})$։ Այդ դեպքում $dy=f'(x_{0})dx$: Հետևաբար, $y'=dy/dx$ հավասարության աջ մասը կարելի է հասկանալ ոչ միայն որպես ամբողջական սիմվոլ, այլև դիֆերենցիալների հարաբերություն։ $dy=f'(x)dx$ հավասարության շնորհիվ դիֆերենցիալ հաշվելու կանոններն անմիջականորեն բխում են ածանցյալ հաշվելու համապատասխան կանոններից։ Ածանցյալի և դիֆերենցիալի գաղափարներն էապես տարբեր են․ տվյալ կետում ածանցյալը թիվ է, իսկ դիֆերենցիալը՝ $\Delta x$-ի նկատմամբ գծային ֆունկցիա։ Երկրաչափորեն դիֆերենցիալը (սևեռած $x_{0}$-ի և փոփոխվող $\Delta x$-ի դեպքում) ցույց է տալիս շոշափողի օրդինատի աճը, այսինքն՝ $NT$ հատվածի երկարությունը։ Դիֆերենցիալը սահմանվում է նաև շատ փոփոխականի ֆունկցիայի համար։ Օրինակ, $z=f(x,y)$ երկու փոփոխականի ֆունկցիան կոչվում է դիֆերենցելի, եթե նրա $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ լրիվ աճը հնարավոր է ներկայացնել $\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+\alpha$ տեսքով, որտեղ $z$-ն $(x,y)$ և $(x+\Delta x,y+\Delta y)$ կետերի հեռավորության համեմատությամբ անվերջ փոքր է։ $A\Delta x+B\Delta y$ գումարը կոչվում է $z=f(x,y)$ ֆունկցիայի լրիվ դիֆերենցիալ, ուր $A=f'x(x_{0},y_{0}),B=f'y(x_{0},y_{0})$։ Ի տարբերություն մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի, երկու փոփոխականի ֆունկցիայի առաջին կարգի մասնակի ածանցյալների գոյությամբ չի ապահովվում ֆունկցիայի դիֆերենցելիությունը։ Բայց եթե մասնակի ածանցյալները նաև անընդհատ են, ապա ֆունկցիան դիֆերենցևլի Է։ Երկրաչափորեն երկու փոփոխականի ֆունկցիայի դիֆերենցիալը ցույց է տալիս նրա գրաֆիկի շոշափող հարթության ապլիկատի աճը, երբ անկախ փոփոխականներն ստանում են $\Delta x,\Delta y$ աճ։ Բարձր կարգի դիֆերենցիալը սահմանվում է մակածմամբ (ինդուկցիայով)․ $k$-րդ կարգի դիֆերենցիալ համարվում է $k-1$-րդ կարգի դիֆերենցիալի դիֆերենցիալը՝ $d^{k}y=d(d^{k-1}y$)։ Միայն պետք է նկատի ունենալ, որ անկախ փոփոխականի աճը կամայական է, բայց նույնը՝ բոլոր անհրաժեշտ փուլերում։ Օրինակ, եթե $y=f(x)$ ֆունկցիան ունի 2-րդ կարգի ածանցյալ և $x$-ը անկախ փոփոխական է, ապա $d^{2}y=d(dy)=d(y'dx)=d(y')dx+y'd$ $(dx)=y''dxdx=y''dx^{2}$ (և ոչ թե $y''dxdx$)։

Կախյալ և անկախ փոփոխականներ

Այստեղ $y'd(dx)=0$, որովհետև $d(dx)=0$, եթե $x$-ը անկախ է։ Կախյալ փոփոխականի դեպքում $d(dx)\neq 0$ և $d^{2}y=y''dx^{2}+y'd^{2}x$, այսինքն՝ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալի ձևը փոխվում է (առաջին կարգի դիֆերենցիալի ձևը ինվարիանտ է․ $x$-ի թե' կախյալ, թե' անկախ լինելու դեպքում՝ $dy=y'dx$)։ Ուստի, $y''=d^{2}y/dx^{2},y^{(n)}=d^{n}y/dx^{n}$ առնչությունները ճիշտ են միայն այն դեպքում, երբ $x$-ը դիտվում է որպես անկախ փոփոխական։ Գործնականում դիֆերենցիալների օգնությամբ կարելի է հաշվել ֆունկցիաների արժեքներ և գնահատել դրանց սխալները։ Օրինակ, $x_{1}$ կետում $f(x)$ ֆունկցիայի արժեքը հաշվելու համար [եթե հայտնի են $f(x_{o})$ և $f'(x_{o})$] պետք է ֆունկցիայի աճը փոխարինել իր դիֆերենցիալով։ Ստացվում է $f(x_{1})\approx f(x_{0})+df(x_{0})=f(x_{0})+f'(x_{0})(x_{1}-x_{0})$ մոտավոր հավասարությունը, որի սխալը [եթե գոյություն ունի $f''(x_{0})$] մոտավորապես հավասար է $1/2d^{2}f=1/2f''(x_{0})(x_{1}-x_{0})^{2}$։ Դիֆերենցիալը սահմանվում է նաև շատ ավելի ընդհանուր դեպքում։ Եթե $f(x)$ ֆունկցիան $(n+1)$ անգամ դիֆերենցելի է $x_{0}$ կետի $\Delta =(x_{0}-h,x_{0}+h)$ շրջակայքում, ապա գոյություն ունի այնպիսի $\xi \in \Delta$, որ $\Delta$-ում $f(x)$-ը ներկայացվում է $f(x)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}(x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}+{\frac {f^{(n+1)(\xi )}}{n+1!}}(x-x_{0})^{n+1}(*)$ բանաձևով (Թեյլորի բանաձև), որն ունի բազմաթիվ կարևոր կիրառություններ (երբ $x_{0}=0,(*)$-ը անվանում են Մակլորենի բանաձև)։ Թեյլորի բանաձևը թույլ է տալիս տվյալ կետի շրջակայքում կամայական ողորկ (գուցե և շատ բարդ) ֆունկցիան բավական մեծ ճշտությամբ փոխարինել բազմանդամով, որն անհամեմատ ավելի պարզ ֆունկցիա է։ Թեյլորի բանաձևը տեղի ունի նաև շատ փոփոխականի ողորկ ֆունկցիաների համար և սկզբունքային դեր է կատարում դրանց էքստրեմումների (մաքսիմումների և մինիմումների) հետազոտության հարցում։ Դիֆերենցիալ հաշվի կարևորագույն փաստերից է նաև անբացահայտ ֆունկցիայի (մասնավորապես հակադարձ ֆունկցիայի) գոյության վերաբերյալ թեորեմը։

Պատմական տեղեկություն

Կորերի շոշափողների որոշման և փոփոխական մեծությունների առավելագույն և նվազագույն արժեքներ գտնելու վերաբերյալ որոշ խնդիրներ լուծել են դեռևս Հին Հունաստաևի մաթեմատիկոսները։ Դիֆերենցիալ հաշիվը, որպես մաթեմատիկայի ինքնուրույն բաժին, սկսել է կազմավորվել այն ժամանակ, երբ պարզ դարձավ, որ նշված խնդիրները, նույնատիպ այլ խնդիրների հետ (առանձնապես ակնթարթային արագություն որոշելու խնդրի) լուծվում են միևնույն մաթեմատիկական ապարատի օգնությամբ։ Դիֆերենցիալ հաշիվը, ստեղծելու առաջին փորձերն արել են 17-րդ դարում Ռ․ Դեկարտը, Պ․ Ֆերման և այլք։ Մոտ 1666 թվականին Իսահակ Նյուտոնը մշակել է ֆլյուքսիաննրի մեթոդը, որտեղ հիմնական հասկացություններն էին ածանցյալը (ֆլյուքսիա) և անորոշ ինտեգրալը, որպես նախնական ֆունկցիա (ֆլյուենտա)։ 17-րդ դարի 70-ական թվականներին Գ․ Լայբնիցը մշակել է դիֆերենցիալ հաշվի բավական հարմար ալգորիթմ, որի հիմնական հասկացություններն էին դիֆերենցիալը և անորոշ ինտեգրալը, որպես անվերջ մեծ թվով դիֆերենցիալների գումար։ Նրան են պատկանում դիֆերենցիալի և ինտեգրալի $dx$ և $ydx$ նշանակումները, դիֆերենցման մի շարք կանոններ և հենց «Դիֆերենցիալ հաշվի» տերմինը։ Դիֆերենցիալ հաշվի հետագա զարգացումն ընթացել է Գ․ Լայբնիցի նշած ուղիով։ Այս փուլում մեծ դեր են կատարել Յա․ և Յո․ Բեոնուլի եղբայրների, Բ․ Թեյլորի և այլոց աշխատանքները։ Դիֆերենցիալ հաշվի զարգացման հաջորդ փուլը սկսվել է Լ․ Էյլերի և Ժ․ Լագրանժի աշխատանքներով։ Լ․ Էյլերը առաջինն է սկսել շարադրել դիֆերենցիալ հաշիվը որպես երկրաչափությունից և մեխանիկայից անկախ, մաթեմատիկայի ինքնուրույն բաժին։ Ֆունկցիաները աստիճանային շարքևրի վերածելուց օգտվելով՝ Ժ․ Լագրանժը փորձել է Դիֆերենցիալ հաշիվը հիմնավորել հանրահաշվորեն։ Նրան են պատկանում $y',f'(x)$ նշանակումները։ 19-րդ դարի սկզբին, սահմանի տեսության հիման վրա բավարար չափով լուծվեց դիֆերենցիալ հաշվի խիստ հիմնավորման խնդիրը։ Այդ արվեց գլխավորապես Օ․ Կոշիի, Բ. Բոլցանոի և Կ․ Գաուսի աշխատանքների շնորհիվ։ Դիֆերենցիալ հաշվի ելակետային հասկացությունների ավելի խոր վերլուծությունը կապված է 19-րդ դարի վերջում ստեղծված բազմությունների տեսության և իրական փոփոխականի ֆունկցիաների տեսության զարգացման հետ։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 3, էջ 414)։